3.619 \(\int \frac{(e \cos (c+d x))^p}{a+b \sin (c+d x)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=158 \[ -\frac{e (e \cos (c+d x))^{p-1} \left (-\frac{b (1-\sin (c+d x))}{a+b \sin (c+d x)}\right )^{\frac{1-p}{2}} \left (\frac{b (\sin (c+d x)+1)}{a+b \sin (c+d x)}\right )^{\frac{1-p}{2}} F_1\left (1-p;\frac{1-p}{2},\frac{1-p}{2};2-p;\frac{a+b}{a+b \sin (c+d x)},\frac{a-b}{a+b \sin (c+d x)}\right )}{b d (1-p)} \]

[Out]

-((e*AppellF1[1 - p, (1 - p)/2, (1 - p)/2, 2 - p, (a + b)/(a + b*Sin[c + d*x]), (a - b)/(a + b*Sin[c + d*x])]*
(e*Cos[c + d*x])^(-1 + p)*(-((b*(1 - Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x])))^((1 - p)/2)*((b*(1 + Sin[c + d*x]))
/(a + b*Sin[c + d*x]))^((1 - p)/2))/(b*d*(1 - p)))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0793573, antiderivative size = 158, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 1, number of rules used = 1, integrand size = 23, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.043, Rules used = {2703} \[ -\frac{e (e \cos (c+d x))^{p-1} \left (-\frac{b (1-\sin (c+d x))}{a+b \sin (c+d x)}\right )^{\frac{1-p}{2}} \left (\frac{b (\sin (c+d x)+1)}{a+b \sin (c+d x)}\right )^{\frac{1-p}{2}} F_1\left (1-p;\frac{1-p}{2},\frac{1-p}{2};2-p;\frac{a+b}{a+b \sin (c+d x)},\frac{a-b}{a+b \sin (c+d x)}\right )}{b d (1-p)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(e*Cos[c + d*x])^p/(a + b*Sin[c + d*x]),x]

[Out]

-((e*AppellF1[1 - p, (1 - p)/2, (1 - p)/2, 2 - p, (a + b)/(a + b*Sin[c + d*x]), (a - b)/(a + b*Sin[c + d*x])]*
(e*Cos[c + d*x])^(-1 + p)*(-((b*(1 - Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x])))^((1 - p)/2)*((b*(1 + Sin[c + d*x]))
/(a + b*Sin[c + d*x]))^((1 - p)/2))/(b*d*(1 - p)))

Rule 2703

Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(g*(g*
Cos[e + f*x])^(p - 1)*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*AppellF1[-p - m, (1 - p)/2, (1 - p)/2, 1 - p - m, (a + b)/(
a + b*Sin[e + f*x]), (a - b)/(a + b*Sin[e + f*x])])/(b*f*(m + p)*(-((b*(1 - Sin[e + f*x]))/(a + b*Sin[e + f*x]
)))^((p - 1)/2)*((b*(1 + Sin[e + f*x]))/(a + b*Sin[e + f*x]))^((p - 1)/2)), x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, p}, x]
&& NeQ[a^2 - b^2, 0] && ILtQ[m, 0] &&  !IGtQ[m + p + 1, 0]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(e \cos (c+d x))^p}{a+b \sin (c+d x)} \, dx &=-\frac{e F_1\left (1-p;\frac{1-p}{2},\frac{1-p}{2};2-p;\frac{a+b}{a+b \sin (c+d x)},\frac{a-b}{a+b \sin (c+d x)}\right ) (e \cos (c+d x))^{-1+p} \left (-\frac{b (1-\sin (c+d x))}{a+b \sin (c+d x)}\right )^{\frac{1-p}{2}} \left (\frac{b (1+\sin (c+d x))}{a+b \sin (c+d x)}\right )^{\frac{1-p}{2}}}{b d (1-p)}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 20.0596, size = 3819, normalized size = 24.17 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(e*Cos[c + d*x])^p/(a + b*Sin[c + d*x]),x]

[Out]

((e*Cos[c + d*x])^p*Tan[c + d*x]*(a*Sqrt[Sec[c + d*x]^2] + b*Tan[c + d*x])*(-(b*AppellF1[1, (1 + p)/2, 1, 2, -
Tan[c + d*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^2)/a^2]*Tan[c + d*x]) + (6*a^5*AppellF1[1/2, p/2, 1, 3/2, -Tan[c +
d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2])/((Sec[c + d*x]^2)^(p/2)*(a^2 + (a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]^2)*(3*a^2*Appe
llF1[1/2, p/2, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] - (2*(a^2 - b^2)*AppellF1[3/2, p/2, 2,
5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] + a^2*p*AppellF1[3/2, (2 + p)/2, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2,
(-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2])*Tan[c + d*x]^2))))/(2*a^2*d*Sqrt[Sec[c + d*x]^2]*(a + b*Sin[c + d*x])*(a + (b
*Tan[c + d*x])/Sqrt[Sec[c + d*x]^2])*((Sqrt[Sec[c + d*x]^2]*(a*Sqrt[Sec[c + d*x]^2] + b*Tan[c + d*x])*(-(b*App
ellF1[1, (1 + p)/2, 1, 2, -Tan[c + d*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^2)/a^2]*Tan[c + d*x]) + (6*a^5*AppellF1[
1/2, p/2, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2])/((Sec[c + d*x]^2)^(p/2)*(a^2 + (a^2 - b^2)*
Tan[c + d*x]^2)*(3*a^2*AppellF1[1/2, p/2, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] - (2*(a^2 -
b^2)*AppellF1[3/2, p/2, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] + a^2*p*AppellF1[3/2, (2 + p)/
2, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2])*Tan[c + d*x]^2))))/(2*a^2*(a + (b*Tan[c + d*x])/Sq
rt[Sec[c + d*x]^2])) - (Tan[c + d*x]^2*(a*Sqrt[Sec[c + d*x]^2] + b*Tan[c + d*x])*(-(b*AppellF1[1, (1 + p)/2, 1
, 2, -Tan[c + d*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^2)/a^2]*Tan[c + d*x]) + (6*a^5*AppellF1[1/2, p/2, 1, 3/2, -Ta
n[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2])/((Sec[c + d*x]^2)^(p/2)*(a^2 + (a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]^2)*(3*a^
2*AppellF1[1/2, p/2, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] - (2*(a^2 - b^2)*AppellF1[3/2, p/
2, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] + a^2*p*AppellF1[3/2, (2 + p)/2, 1, 5/2, -Tan[c + d
*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2])*Tan[c + d*x]^2))))/(2*a^2*Sqrt[Sec[c + d*x]^2]*(a + (b*Tan[c + d*x])/Sq
rt[Sec[c + d*x]^2])) + (Tan[c + d*x]*(b*Sec[c + d*x]^2 + a*Sqrt[Sec[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x])*(-(b*AppellF1[1,
(1 + p)/2, 1, 2, -Tan[c + d*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^2)/a^2]*Tan[c + d*x]) + (6*a^5*AppellF1[1/2, p/2
, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2])/((Sec[c + d*x]^2)^(p/2)*(a^2 + (a^2 - b^2)*Tan[c +
d*x]^2)*(3*a^2*AppellF1[1/2, p/2, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] - (2*(a^2 - b^2)*App
ellF1[3/2, p/2, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] + a^2*p*AppellF1[3/2, (2 + p)/2, 1, 5/
2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2])*Tan[c + d*x]^2))))/(2*a^2*Sqrt[Sec[c + d*x]^2]*(a + (b*Tan
[c + d*x])/Sqrt[Sec[c + d*x]^2])) - (Tan[c + d*x]*(a*Sqrt[Sec[c + d*x]^2] + b*Tan[c + d*x])*(b*Sqrt[Sec[c + d*
x]^2] - (b*Tan[c + d*x]^2)/Sqrt[Sec[c + d*x]^2])*(-(b*AppellF1[1, (1 + p)/2, 1, 2, -Tan[c + d*x]^2, ((-a^2 + b
^2)*Tan[c + d*x]^2)/a^2]*Tan[c + d*x]) + (6*a^5*AppellF1[1/2, p/2, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan
[c + d*x]^2])/((Sec[c + d*x]^2)^(p/2)*(a^2 + (a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]^2)*(3*a^2*AppellF1[1/2, p/2, 1, 3/2, -Ta
n[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] - (2*(a^2 - b^2)*AppellF1[3/2, p/2, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1
+ b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] + a^2*p*AppellF1[3/2, (2 + p)/2, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*
x]^2])*Tan[c + d*x]^2))))/(2*a^2*Sqrt[Sec[c + d*x]^2]*(a + (b*Tan[c + d*x])/Sqrt[Sec[c + d*x]^2])^2) + (Tan[c
+ d*x]*(a*Sqrt[Sec[c + d*x]^2] + b*Tan[c + d*x])*(-(b*AppellF1[1, (1 + p)/2, 1, 2, -Tan[c + d*x]^2, ((-a^2 + b
^2)*Tan[c + d*x]^2)/a^2]*Sec[c + d*x]^2) - b*Tan[c + d*x]*(((-a^2 + b^2)*AppellF1[2, (1 + p)/2, 2, 3, -Tan[c +
d*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^2)/a^2]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/a^2 - ((1 + p)*AppellF1[2, 1 + (1 + p
)/2, 1, 3, -Tan[c + d*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^2)/a^2]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/2) - (12*a^5*(a^2
- b^2)*AppellF1[1/2, p/2, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2]*(Sec[c + d*x]^2)^(1 - p/2)*T
an[c + d*x])/((a^2 + (a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]^2)^2*(3*a^2*AppellF1[1/2, p/2, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^
2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] - (2*(a^2 - b^2)*AppellF1[3/2, p/2, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x
]^2] + a^2*p*AppellF1[3/2, (2 + p)/2, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2])*Tan[c + d*x]^2)
) - (6*a^5*p*AppellF1[1/2, p/2, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x])/((Sec[c
+ d*x]^2)^(p/2)*(a^2 + (a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]^2)*(3*a^2*AppellF1[1/2, p/2, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^
2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] - (2*(a^2 - b^2)*AppellF1[3/2, p/2, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x
]^2] + a^2*p*AppellF1[3/2, (2 + p)/2, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2])*Tan[c + d*x]^2)
) + (6*a^5*(-(p*AppellF1[3/2, 1 + p/2, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^2*
Tan[c + d*x])/3 + (2*(-1 + b^2/a^2)*AppellF1[3/2, p/2, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2]
*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/3))/((Sec[c + d*x]^2)^(p/2)*(a^2 + (a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]^2)*(3*a^2*AppellF1[1
/2, p/2, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] - (2*(a^2 - b^2)*AppellF1[3/2, p/2, 2, 5/2, -
Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] + a^2*p*AppellF1[3/2, (2 + p)/2, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 +
b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2])*Tan[c + d*x]^2)) - (6*a^5*AppellF1[1/2, p/2, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2
)*Tan[c + d*x]^2]*(-2*(2*(a^2 - b^2)*AppellF1[3/2, p/2, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2
] + a^2*p*AppellF1[3/2, (2 + p)/2, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2])*Sec[c + d*x]^2*Tan
[c + d*x] + 3*a^2*(-(p*AppellF1[3/2, 1 + p/2, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2]*Sec[c +
d*x]^2*Tan[c + d*x])/3 + (2*(-1 + b^2/a^2)*AppellF1[3/2, p/2, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c +
d*x]^2]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/3) - Tan[c + d*x]^2*(2*(a^2 - b^2)*((-3*p*AppellF1[5/2, 1 + p/2, 2, 7/2,
-Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/5 + (12*(-1 + b^2/a^2)*AppellF1[5
/2, p/2, 3, 7/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/5) + a^2*p*((6*(
-1 + b^2/a^2)*AppellF1[5/2, (2 + p)/2, 2, 7/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^2*
Tan[c + d*x])/5 - (3*(2 + p)*AppellF1[5/2, 1 + (2 + p)/2, 1, 7/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]
^2]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/5))))/((Sec[c + d*x]^2)^(p/2)*(a^2 + (a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]^2)*(3*a^2*Appel
lF1[1/2, p/2, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] - (2*(a^2 - b^2)*AppellF1[3/2, p/2, 2, 5
/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] + a^2*p*AppellF1[3/2, (2 + p)/2, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2,
(-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2])*Tan[c + d*x]^2)^2)))/(2*a^2*Sqrt[Sec[c + d*x]^2]*(a + (b*Tan[c + d*x])/Sqrt[Se
c[c + d*x]^2]))))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.628, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\frac{ \left ( e\cos \left ( dx+c \right ) \right ) ^{p}}{a+b\sin \left ( dx+c \right ) }}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((e*cos(d*x+c))^p/(a+b*sin(d*x+c)),x)

[Out]

int((e*cos(d*x+c))^p/(a+b*sin(d*x+c)),x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (e \cos \left (d x + c\right )\right )^{p}}{b \sin \left (d x + c\right ) + a}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((e*cos(d*x+c))^p/(a+b*sin(d*x+c)),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((e*cos(d*x + c))^p/(b*sin(d*x + c) + a), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (\frac{\left (e \cos \left (d x + c\right )\right )^{p}}{b \sin \left (d x + c\right ) + a}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((e*cos(d*x+c))^p/(a+b*sin(d*x+c)),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((e*cos(d*x + c))^p/(b*sin(d*x + c) + a), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((e*cos(d*x+c))**p/(a+b*sin(d*x+c)),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (e \cos \left (d x + c\right )\right )^{p}}{b \sin \left (d x + c\right ) + a}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((e*cos(d*x+c))^p/(a+b*sin(d*x+c)),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((e*cos(d*x + c))^p/(b*sin(d*x + c) + a), x)